Гамильтониан (квантовая механика)

Эта статья — об операторе Гамильтона в квантовой механике. О функции Гамильтона в классической механике см. Функция Гамильтона.

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Гамильтониа́н ($\hat H$ или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений, при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например для Кулоновского потенциала) когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является эрмитовым оператором.

Уравнение Шрёдингера

Основная статья: Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если $\left| \psi (t) \right\rangle$ состояние системы в момент времени t, то

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.$

Это уравнение называется уравнение Шрёдингера. (Оно выглядит также как и уравнение Гамильтона — Якоби классической механики). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

$\left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.$

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизму, оператор

$U = e^{-iHt/\hbar}$

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если Гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для Гамильтониана

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то Гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$

и для трёх измерений:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени), в одном измерении, Гамильтониан такой:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0$

в трёх измерениях

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0$

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении, потенциал зависит от координаты (но не от времени), как:

$V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2$

где угловая частота, коэффициент упругости k, и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению:

$\omega^2 = \frac{k}{m}$

поэтому Гамильтониан имеет вид:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2$

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2$

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

$r^2 = \bold{r}\cdot\bold{r} = |\bold{r}|^2 = x^2+y^2+z^2$

Полный Гамильтониан это сумма одномерных Гамильтонианов:

$\begin{align} \hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\ & = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\ \end{align}$

В квантовой теории поля

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени; в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергию их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Ссылки

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9