- Модулярная функция
-
Модулярная функция — голоморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть множества ), является инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяет условия голоморфности в параболических точках. Модулярные формы и модулярные функции широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.
Примеры
- Одними из самых простых примеров модулярных функций являются ряды Эйзенштейна:
где .
- Пусть
- — модулярные инварианты, — модулярный дискриминант.
Определим также:
- — основной модулярный инвариант (j-инвариант).
Выполняются равенства:
Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть — модулярная форма веса 4, — модулярная форма веса 12. Соответственно — модулярная форма веса 12, а — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и элиптических кривых.
Литература
- Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4
- Tom M. Apostol Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0
- Robert A. Rankin Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X
Ссылки
- J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.
Категории:- Теория чисел
- Комплексный анализ
- Аналитическая теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.