- Ряд Лиувилля — Неймана
-
Ряд Лиувилля — Неймана
В интегральном исчислении бесконечный ряд Лиуви́лля — Не́ймана соответствует решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром.
Получение ряда
Будем искать решение уравнения Фредгольма
методом последовательных приближений, положив u(0)(x) = f(x):
Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:
Функции (Kpf)(x) называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на G:
где — мера множества G, а .
Из этой оценки следует, что ряд
называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом
сходящимся в круге , поэтому при таких λ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно. Это значит, что последовательные приближения u(p)(x) при равномерно стремятся к искомой функции u(x).
См. также
Литература
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
Wikimedia Foundation. 2010.