- Проектор (алгебра)
-
Проектор (алгебра)
В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор P, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если P2 = P. Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.
Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.
В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором, если и только если существуют такие подпространства U и V пространства X, что X раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента имеем Pu = u, а для любого элемента имеем Pv = 0. Подпространство U называется образом, а V — ядром проектора P.
В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму неединственно. Поэтому, для подпространства V пространства X, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которого совпадает с V.
Содержание
Свойства проекционных операторов
- Пусть I — тождественный оператор. Если P - проектор, то I − P - тоже проектор, причём kerI − P = ImP и ImI − P = kerP.
- В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
- Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: .
- Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.
Комбинации проекторов
Пусть P1 и P2 проекторы заданные на пространстве X и проектирующие на подпространства M1 и M2 соответственно. Тогда
- P1 + P2 — проектор на подпространстве , в том и только том случае, когда P1P2 = P2P1 = 0.
- P1 − P2 является проектором тогда и только тогда, когда P1P2 = P2P1 = P2. P1 − P2 проектирует на подпространство .
- Если P1P2 = P2P1 = P, то P — проектор на подпространство .
Примеры
- Ортогональная проекция (смотрите ниже) точек (x, y, z) пространства R3 на плоскость Oxy задаётся матрицей
Действует на точки она следующим образом:
- Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:
Легко показать, что это действительно проектор:
Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если α = 0.Ортогональный проектор
Если пространство X - гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогональный проектор. Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда (u,v) = 0, или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства U.
Литература
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Wikimedia Foundation. 2010.
Проектор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проектор. На этом рисунке преобразование является ортогональной проекцией на прямую . В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор … Википедия
НЕЙМАНА АЛГЕБРА — подалгебра А алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, самосопряженная (т. е. содержащая вместе с каждым оператором Тсопряженный к нему оператор ) и совпадающая со своим бикомму тантом (т. е. содержащая те и только… … Математическая энциклопедия
Спектр оператора — У этого термина существуют и другие значения, см. Спектр (значения). Спектр оператора множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике. Содержание 1… … Википедия
Резольвентнoe множество — Спектр оператора множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике. Содержание 1 Конечномерный случай 2 Общее определение 2.1 примечания … Википедия
Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… … Большая советская энциклопедия
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия
Функциональный анализ — I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия
УНИТАРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — топологической группы представление топологич. группы унитарными операторами в гильбертовом пространстве. Теория У. п. один из наиболее разработанных разделов теории представлений топологич. групп, что связано как с его многочисленными… … Математическая энциклопедия
ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО — конечномерное пространство , удовлетворяющее условию: если Ли алгебра над полем , а ее представление в V, то существует такая функция , что для любых при нек ром целом . Функция … Математическая энциклопедия
Линейное отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Линейное отображение, линейный оператор обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные… … Википедия