- Четырёхугольник
-
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ ┌─────────────┼────────────┐ невыпуклый выпуклый самопересекающийся ┌─────────────┼─────────────┐ Вписанный трапеция описанный | ┌───────────┤ |
равнобедренная трапеция
равнобокая
стороны параллельны
выпуклый ромбоид (дельтоид)
диагонали перпендикулярны└─────┬─────┘ └─────┬─────┘
прямые углы
равнобедренный└──────────┬─────────┘
квадрат
Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).Содержание
Виды четырёхугольников
- Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
- Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
- Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
- Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
- Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
- Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
Четырёхсторонник
Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.
Свойства
- Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
- Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (). См. также теорема Птолемея.
- Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()
- Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
- Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
- Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
- Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
- Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
- См. также свойства центроида четырёхугольника.
- Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
- .
Его можно представить ещё в виде:
Площадь
Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями , и углом между ними (или их продолжениями), равна:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:
- , где , — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.
- , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.
Особые случаи
Если 4-угольник и вписан, и описан, то .
История
В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[1]: .
См. также
- Теорема косинусов для четырёхугольника
- Прямая Обера
- Соотношение Бретшнайдера
Примечания
- ↑ Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.
Литература
- Болтянский В., Четырехугольники. Квант, № 9,1974.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0
Многоугольники По числу вершин 1-10 Одноугольник • Двуугольник • Треугольник • Четырёхугольник (Дельтоид) • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • Десятиугольник 11-20 Одиннадцатиугольник (англ.) • Двенадцатиугольник Правильные Выпуклые Треугольник • Четырёхугольник • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • ... • 17-угольник • ... • 257-угольник • ... • 65537-угольник Звёздчатая форма Звезды (Пентаграмма • Гексаграмма • Октаграмма) Выпуклые Четырёхугольники: Параллелограмм • Прямоугольник • Ромб • Трапеция
ПланигонСм. также Теория и практика: Принадлежность точки многоугольнику • Теорема Бойяи — Гервина • Теорема Брахмагупты • Теорема Гаусса — Ванцеля • Формула Пика • Теорема о сумме углов многоугольника Категория:- Многоугольники
- Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
Wikimedia Foundation. 2010.