Число обусловленности

В численных методах, число обусловленности характеризует точность решения задачи и является мерой аменабельности этого решения в численном представлении, то есть насколько задача хорошо или плохо обусловлена.

Число обусловленности для оператора

Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор $\,\! A$.
Числом обусловленности $\,\!\mu(A)$ (другое обозначение — $\,\!Cond(A)$) оператора $\,\! A$ называется число

$\mu(A) = ||A||\cdot||A^{-1}||$

Если оператор $\,\! A^{-1}$ не ограничен, то числом обусловленности оператора $\,\! A$ обычно считают $\mu(A) = +\infty$

С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.

Рассмотрим линейное уравнение

$\,\! Au = f$,

где $\,\! A$ — линейный оператор, $\,\! f$ — вектор, $\,\! u$ — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных. Тогда число обусловленности $\,\! \mu(A)$ характеризует, насколько велика будет погрешность решения.

Если число обусловленности оператора $\,\! A$ мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше $\,\! \mu(A)$, тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что $\,\! \mu(A) \geqslant 1$, то наилучшим числом обусловленности является 1.

Некоторые теоремы, связанные с числом обусловленности

Оценка относительной погрешности при замене уравнения близким

Рассмотрим два линейных уравнения:

$\,\! Au = f \qquad \qquad \qquad \qquad \ (1)$ — «основное» уравнение

$\,\! (A + \Delta A)u = f + \Delta f \qquad (2)$ — «близкое» к нему.

Пусть $\,\! A$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из полного пространства $\,\! U$.
Пусть операторы $\,\! A^{-1}, \Delta A$ также ограничены, и $\,\! ||A^{-1}||\cdot||\Delta A|| < 1$.

Пусть $\,\! u^*$ — решение уравнения (1), $\,\! u^* + \Delta u$ — решение уравнения (2).

Тогда    $\frac{||\Delta u||}{||u^*||} \leqslant \frac{\mu(A)}{1 - \mu(A)\frac{||\Delta A||}{||A||}} \left(\frac{||\Delta A||}{||A||} + \frac{||\Delta f||}{||f||} \right)$

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.