- Теорема представлений Рисса
-
Теорема Рисса (также теорема Рисса — Фреше) в функциональном анализе утверждает, что каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь Фридьеса Рисса[1].
Пусть существует:
- Гильбертово пространство
- Линейный ограниченный функционал в пространстве
Тогда существует единственный элемент пространства , такой, что для произвольного выполняется .
Также выполняется равенство
Содержание
Доказательство
ядро линейного функционала является векторным подпространством .
Существование
Если , достаточно взять . Если же , тогда . Соответственно можно найти элемент ,
, обозначим .
Поскольку (очевидно), по определению b имеем . Из линейности скалярного произведения получаем:
Отсюда .
Наконец
где .
Единственность
Предположим, что и элементы H удовлетворяют .
Это означает, что для всех справедливо равенство , в частности , откуда и получается равенство .
Альтернативно, в случае невырожденной линейной формы из равенств , и следует , т.е. вектор , где - единичный вектор одномерного линейного пространства в положительном направлении формы , определен однозначно.
Равенство норм
Для доказательства сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: . Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: Кроме того, , откуда . Объединяя два неравенства, получаем .
Примечания
- ↑ венг. Frigyes Riesz, в русскоязычных источниках его фамилия пишется как «Рис» или «Рисс», а имя иногда транскрибируют на английский манер как «Фриджес»
См. также
- Теорема Лакса-Мильграма
Категории:- Функциональный анализ
- Теории двойственности
Wikimedia Foundation. 2010.