Вековое равновесие

Вековое равновесие — состояние, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением:

$~\frac{N_1}{N_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}}$

Вековое равновесие заключается в том, что число распадов (активность) всех членов радиоактивного ряда равно друг другу, и если исходный изотоп имеет очень большое время жизни (постоянная активность), то никакого изменения активности и у дочерних радиоактивных элементов не наблюдается. С достаточной точностью можно считать, что вековое равновесие наступает за время, равное десятикратному периоду полураспада наиболее долгоживущего дочернего элемента:

• в урановом ряду — через 830000 лет,
• ториевом — через 67 лет,
• актино-урановом — через 343000 лет.

В естественном состоянии все нуклиды, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада. Чем меньше $~T_{1/2}$ члена радиоактивного ряда, тем меньше его содержание в земной коре.^[1]

Постоянная распада $~\lambda$ — вероятность распада ядра в единицу времени. Если в образце в момент времени $~ t$ имеется $~N$ радиоактивных ядер, то количество ядер $~dN$, распавшихся за время $~dt$ равно $~dN = -\lambda Ndt$.

Количество ядер 2 достигает максимального значения $N_2^{max}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}N_{10}exp(-\lambda_1t^{max})$ при $~t^{max}=\frac{\ln(\lambda_1/\lambda_2)}{\lambda_1-\lambda_2}$.

Если $~\lambda_2<\lambda_1$ , суммарная активность $~N_1(t)\lambda_1+N_2(t)\lambda_2$ будет монотонно уменьшаться. Если $~\lambda_2>\lambda_1$ , суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.

В общем случае, когда имеется цепочка распадов $~1 \xrightarrow{} 2 \xrightarrow{}...n$., процесс описывается системой дифференциальных уравнений

$~dN_i/dt=-\lambda_iN_i+\lambda_{i-1}N_{i-1}$.

Решением системы для активностей с начальными условиями $~N_1(0)=N_{10}$; $~N_i(0)=0$ будет

$~A_n(t) = N_{10}\sum^{n}_{i=1} {c_iexp(-\lambda_it)}$, где

$~c_m=\frac{ \prod^n_{i=1}\lambda_i}{\prod^n_{i=1}(\lambda_i-\lambda_m)}$.

Ссылки

1. ↑ Физический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1984, стр. 606.

• IUPAC definition
• EPA definition