- Теорема Брауэра о неподвижной точке
-
Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.
Брауэр доказал теорему для случая в 1909.
Содержание
Формулировка
Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка , что .
Доказательство
Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.
Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.
Вариации и обобщения
- Теорема Шаудера о неподвижной точке (англ.) является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
- Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.
Следствия
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Fixed Point Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категории:- Топология
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.