- Дифференцирование (алгебра)
-
В алгебре дифференцирование — это операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.
Содержание
Определение
Пусть — алгебра над кольцом . Дифференцирование алгебры — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница:
В более общем случае дифференцирование коммутативной со значениями в -модуле — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае называют дифференциальным модулем над Множество всех дифференцирований со значениями в обозначается (, ) и является -модулем. Функтор является представимым, его представляющий объект обозначается или и называется модулем кэлеровых дифференциалов. является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над , то есть существует такое дифференцирование , что любое дифференцирование пропускается через :
Свойства
- имеет естественную структуру алгебры Ли:
- Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если — алгебра с единицей, то для любого -модуля
- Здесь — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из в .
- является функтором из в .
Градуированное дифференцирование
Пусть — -градуированная алгебра, градуировку элемента обозначим . Правильным аналогом дифференцирований в этом случае являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями степени , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби ():
Если , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если , то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора
Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.
Литература
- Bourbaki, Nicolas (1989), «Algebra I», Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Kolař, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), «Natural operations in differential geometry», Springer-Verlag, <http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html>.
См. также
Категория:- Дифференциальная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.