- Многочлен Бернулли
-
Многочлен Бернулли
В математике, Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
Содержание
Определение
Многочлены Бернулли можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.
Явная формула
- , где — биномиальные коэффициенты, — числа Бернулли.
Или
Производящая функция
Производящей функцией для многочленов Бернулли является
Представление дифференциальным оператором
- , где — оператор формального дифференцирования.
Явное выражение для небольших степеней
Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:
Свойства
Начальные значения
начальные значения многочленов Бернулли при равны соответствующим числам Бернулли:
- .
Дифференцирование и интегрирование
Вычисляя производную от производящей функции:
- .
Левая часть отличается от производящей функции только множителем , поэтому
- .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:
- , откуда
- . (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).
Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:
- .
Теорема об умножении аргумента
Пусть — произвольное натуральное число, тогда
Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:
- .
Симметрия
Экстремумы
Разности
Теоремы сложения
Разложение произвольной функции по многочленам Бернулли
Ряд Фурье
Обращение
Связь с символом Похгаммера
Периодические многочлены Бернулли
См. также
Литература
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.
Бернулли (семья) — У этого термина существуют и другие значения, см. Бернулли. Семья Бернулли (Bernoulli) швейцарская протестантская семья, многие члены которой в XVII XVIII веках внесли существенный вклад в науку. В частности, к этой династии принадлежат 9… … Википедия
Бернулли, Якоб — Якоб Бернулли Jakob Bernoulli … Википедия
Бернулли — (Bernoulli) фамилия. Семья Бернулли семья, многие члены которой внесли существенный вклад в науку. Из них наиболее известны: Бернулли, Якоб (1654 1708); Бернулли, Иоганн (1667 1748), младший брат Якоба; Бернулли, Даниил (1700 1782),… … Википедия
Линия — I Линия (от лат. linea) геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной… … Большая советская энциклопедия
Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия
Обыкновенное дифференциальное уравнение — Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида где неизвестная функция (возможно, вектор функция, тогда , как правило, тоже вектор функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом… … Википедия
Кривая — У этого термина существуют и другие значения, см. Кривая (значения). Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 … Википедия
Жорданова кривая — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия