Предположение о замкнутости мира

Предположение о замкнутости мира (англ. CWA, closed world assumption) — стратегия, при которой положительный литерал, который не является следствием формул в некоторой базе знаний, считается ложным. Данное предположение позволяет упростить систему замещением неоднозначности (есть — нет — неизвестно) дуализмом (есть — нет). Широко используется в компьютерных системах, в том числе в СУБД.

Например: имея базу знаний, состоящую из литералов

• «Вася любит собак»;
• «Женя любит кошек»;
• «Женя не любит собак»;

в логике первого порядка невозможно дать определенный ответ на вопрос, любит ли Вася кошек, поскольку невозможно доказать ни литерал «Вася любит кошек», ни «Вася не любит кошек». Но при предположении о замкнутости мира, положительный литерал «Вася любит кошек» считается ложным, что позволяет заключить, что Вася кошек не любит.

Формальное определение в логике

Если $\Sigma$ — множество формул, то $\Sigma$ при наивном предположении о замкнутости мира является множеством $CWA(\Sigma) = \Sigma \cup \{\neg \phi : \Sigma \nvdash \phi\}$, то есть объединение $\Sigma$ и множества отрицаний тех положительных литералов, которые не следуют из $\Sigma$.

При этом $CWA(\Sigma)$ может оказаться логически противоречивым; например, если $p$, $q$ положительные литералы, то $CWA(\{p \vee q\}) = \{p \vee q, \neg p, \neg q\}$. Но если $\Sigma$ состоит из дизъюнктов Хорна, то противоречивости не будет.

Существует ряд альтернативных предположений о замкнутости мира которые имеют форму $\Sigma \cup \{\neg \phi : \phi \in F\}$ и отличаются определением множества $F$:

• GCWA (обобщённое ПЗМ, англ. generalized CWA): положительный литерал $\phi$ является элементом $F$ если не существует дизъюнкции положительных литералов $\psi$ таковой, что $\Sigma \vdash \phi \vee \psi$ но $\Sigma \nvdash \psi$.
• CCWA (осторожное ПЗМ, англ. careful CWA): множество положительных литералов разбивается на три части: $P^+$, $Q^+$, $Z^+$. Элементы $F$ определяется так же, как в GCWA, но $\psi$ является дизъюнкцией литералов из $P^+$ и $Q^+$ и отрицаний литералов из $Q^+$.
• EGCWA (расширенное обобщённое ПЗМ, англ. extended GCWA): то же, что и GCWA, но $\phi$ может быть конъюнкцией положительный литералов.
• ECWA (расширенное ПЗМ, англ. extended CWA): то же, что и CCWA, но $\phi$ может быть любой замкнутой формулой, которая не включает литералы из $Z^+$.

Литература

• Stuart Russel, Peter Norvig 10.7 — Reasoning with Default information // Artificial Intelligence: a Modern Approach. — 2-е изд. — Prentice Hall, 2003. — С. 354—356. — 1132 с. — ISBN 0137903952
• Dritan Berzati 8.2 — Negation as failure // Nonmonotonic Reasoning: a Unifying Framework. — Nova Publishers, 2006. — С. 143—149. — 171 с. — ISBN 1594545626
• J. C. Shepherdson Negation as Failure, Completion and Stratification // Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming / Под ред. Dov M. Gabbay, Christopher John Hogger, John Alan Robinson. — Oxford University Press, 1998. — Т. 5. — С. 370—401. — 816 с. — ISBN 0198537921

• M. Cadoli and M. Lenzerini (1994). The complexity of propositional closed world reasoning and circumscription. Journal of Computer and System Sciences, 48:255-310.

• T. Eiter and G. Gottlob (1993). Propositional circumscription and extended closed world reasoning are $\Pi^p_2$-complete. Theoretical Computer Science, 114:231-45.

• A. Rajasekar, J. Lobo, and J. Minker (1989). Weak generalized closed world assumption. Journal of Automated Reasoning, 5:293-307.

• V. Lifschitz (1985). Closed-world databases and circumscription. Artificial Intelligence, 27:229-35.

• J. Minker (1982). On indefinite databases and the closed world assumption. In Proceedings of the Sixth International Conference on Automated Deduction (CADE’82), pp. 292—308.

• R. Reiter (1978). On closed world data bases. In H. Gallaire and J. Minker, editors, Logic and Data Bases, pp. 119-40. Plenum Publ. Co., New York.

Ссылки

• http://cs.wwc.edu/~aabyan/Logic/CWA.html
• http://www.betaversion.org/~stefano/linotype/news/91/
• http://esw.w3.org/topic/ClosedWorldAssumptions
• Closed World Reasoning in the Semantic Web through Epistemic Operators
• Excerpt from Reiter’s 1978 talk on the closed world assumption