- Тождество Эйлера (кватернионы)
-
Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что
произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
Действительно:
Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если и — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:
- .
Содержание
Аналогичные тождества
- «тождество одного квадрата»
-
- означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:
- ,
- «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)
-
- означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
- ,
- «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:
- .
Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.
Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для квадратов при любом натуральном N) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.[1]
История
Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за 100 лет до появления кватернионов.
Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.
См. также
Примечания
- ↑ См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Гл.7 (п.23.2)
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
</noinclude>
Тождество квадратов Теория чисел Одного модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей Двух
(Тождество Брахмагупты)модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей Четырёх
(Тождество Эйлера)модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей Восьми модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей седенионы), ни для любого другого числа квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8 Математики Деген, Фердинанд | Грейвс, Томас | Кэли, Артур | Гурвиц, Адольф Математика Категории:- Тождества
- Теория чисел
- Кватернионы
- Аналитическая теория чисел
-
Wikimedia Foundation. 2010.