- Ортонормированный базис
-
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Конечномерный случай
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи дельта-символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортонормированном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нем можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Разложение вектора по ортонормированному базису:
можно найти так:
то есть каждый коэффициент разложения (координата) любого вектора в ортонормированном базисе равна просто скалярному произведению этого вектора на соответствующий базисный вектор.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора
то есть квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису.
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай
Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e1,e2,...,en,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
называемого рядом Фурье элемента x по системе {en}.
Обычно базис {en} выбирается так, что | en | = 1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа an, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису {en}, имеют вид
- an = (x,en).
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система {en} была базисом, является равенство Парсеваля
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел {an} такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом {en} ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l2 (теорема Рисса — Фишера).
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.