Медиана (геометрия)

Треугольник и его медианы.

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Свойства

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы

• Формула медианы через стороны:

$m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }$, где m_c — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,

поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.

• Формула стороны через медианы:

$a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2}$, где m_a,m_b,m_c медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c — стороны треугольника.

Мнемоническое правило

Медиана — это обезьяна, лазает по сторонам, делит их напополам.

См. также

• Центроид
• Чевиана

Ссылки

• Основные линии треугольника