- Хирургия (топология)
-
Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.
Конструкция
Пусть V — гладкое n-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена (k − 1)-мерная сфера Sk − 1. Предположим, что нормальное расслоение сферы Sk − 1 в многообразии V тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность T сферы Sk − 1 в V разлагается в прямое произведение , где Dn − k + 1 — диск размерности n − k + 1. Выбрав такое разложение, вырежем из V внутренность окрестности T. Получится многообразие, край которого разложен в произведение сфер. Точно такой же край имеет многообразие . Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие V' без края, которое и называется результатом хирургии многообразия V вдоль сферы Sk − 1.
Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности T сферы Sk − 1 в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы Sk − 1 в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия V'.
Число k называется индексом хирургии, а пара (k,n − k + 1) её типом. Если V' получается из V хирургией типа (i,j), то V получается из V' хирургией типа (j,i). При k = 0 многообразие V' является дизъюнктным объединением многообразия V (которое может быть в этом случае пустым) и сферы Sn.
Примеры
- При V = S2 и k = 2 в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при k = 1 — тор.
- При V = S3 и k = 2 получается произведение .
- Случай V = S3 и k = 1 сложнее: если сфера S1 вложена в S3 стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы S1, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.
Свойства
Если V является краем (n + 1)-мерного многообразия M, то V' будет краем многообразия M', полученного из M приклеиванием ручки индекса k. В частности, если f — гладкая функция на многообразии M и a < b — такие числа, что множество f − 1([a,b]) компактно и содержит единственную критическую точку p, которая невырождена, то многообразие Vb = f − 1(b) получается из многообразия Va = f − 1(a) хирургией индекса k, где k — индекс Морса критической точки p. Более общим образом, любая перестройка V' многообразия V индекса k определяет некоторый бордизм (W;V,V'), и на триаде (W;V,V') существует функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса k, причем любой бордизм (W;V,V'), на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом. Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.
Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения замкнутого многообразия M в клеточное пространство X существуют такой бордизм (W;M,N) и такое отображение , что F | M = f, а является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов (где πk — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической K-теории.
Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно линейных и топологических многообразий.
Wikimedia Foundation. 2010.