- Дерево Штерна-Броко
-
Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.
В первом варианте построения дерева Штерна — Броко дробь является корнем, а все прочие узлы заполняются по следующему алгоритму: каждая вершина имеет двух потомков: левого и правого .
Во втором варианте построения в каждом узле дерева Штерна — Броко (называемого в этом случае также деревом Фарея) стоит дробь , образованная из дробей и , стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:
Содержание
История
В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Однако в действительности это построение было известно ещё древнегреческим математикам. Оно описано под именем «порождения всех отношений из отношения равенства как из матери и корня» в двух математических обзорах II в. н. э., принадлежащих Никомаху Геразскому и Теону Смирнскому. Теон сообщает, что эта конструкция была известна Эратосфену Киренскому — знаменитому учёному, жившему в III в. до н. э.
Свойства
- Все дроби в дереве Штерна — Броко несократимы;
- Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.
Эти свойства легко доказываются, если заметить, что каждому шагу по дереву в направлении к корню соответствует элементарный шаг вычитания меньшего числа из большего в алгоритме Евклида для поиска наибольшего общего делителя.
Система счисления Штерна — Броко
Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.
Ссылки
- The Stern — Brocot or Farey Tree(англ.)
- Кноп К. Недвоичная система, Домашний компьютер, № 8 (2001).
Литература
- Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней. М.: Мир, 2006. С. 105—108.
- Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 2006.
- Щетников А. И. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и идеальные числа Платона. ΣΧΟΛΗ, 2 (2008), 55—74.
- Brocot A. Calcul des rouages par approximation, nouvelle méthode. Revue Chonométrique, 3 (1861), 186—194.
- Stern M. Über eine zahlentheoretische Funktion. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55 (1858), 193—220.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.