- Неравенство Птолемея
-
Неравенство Птолемея: Для любых точек плоскости выполнено неравенство
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.
Содержание
Идеи доказательства
- Один из вариантов доказательства — применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.[1]
- Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E такую, что , а потом через подобие треугольников.
- Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.
Следствия
- Теорема Помпею́.[2] Рассмотрим точку и правильный треугольник . Тогда из отрезков , и можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника .
- Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
Вариации и обобщения
- Соотношение Бретшнайдера
- Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если произвольные точки плоскости, то
-
- причем равенство достигается тогда и только тогда, когда — вписанный шестиугольник.
- Теорема Кэзи (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности и , касающиеся данной окружности в вершинах и выпуклого четырехугольника . Пусть — длина общей касательной к окружностям и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); и т. д. определяются аналогично. Тогда
- .
Примечания
- ↑ Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ О теореме Д. Помпейю. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
Литература
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 328-329. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0
Категории:- Планиметрия
- Неравенства
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.