- Непустое множество
-
Пустым множеством в математике называется множество, не содержащее ни одного элемента.
В одних теориях множеств существование [по меньшей мере одного] пустого множества провозглашается (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается. Во всех теориях множеств единственность пустого множества доказывается (см. аксиому объёмности).
Содержание
Обозначения пустого множества
Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: , и .
Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: и
В Юникоде имеется специальный символ "пустое множество" (U+2205,∅).
Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.
Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите.[1]
Свойства пустого множества
- Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
- Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
- Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .
- Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
- Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.