- Конечная p-группа
-
Группа называется конечной
-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.
Содержание
Основные свойства конечных p-групп
Пусть
— конечная
-группа, тогда
- P — нильпотентна.
, где
— центр группы P.
- Для любого
в
существует нормальная подгруппа порядка
.
- Если
нормальна в
, то
.
.
.
Некоторые классы конечных p-групп
В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных
-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.
p-группы максимального класса
Конечная
-группа порядка
называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна
.
Если
— конечная
-группа максимального класса, то
и
.
Единственными 2-группами порядка
максимального класса являются: диэдральная группа
, обобщённая группа кватернионов
и полудиэдральная группа
.
В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.
p-центральные p-группы
Конечная
-группа называется
-центральной, если
. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной
-группы.
Мощные p-группы
Конечная
-группа называется мощной, если
при
и
при
. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию
-центральной
-группы.
Регулярные p-группы
Конечная
-группа
называется регулярной, если для любых
выполнено
, где
. Регулярными будут, например, все абелевы
-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.
- Любая подгруппа и факторгруппа регулярной
-группы регулярна.
- Конечная
-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
- Конечная
-группа порядка не большего
является регулярной.
- Конечная
-группа класс нильпотентности которой меньше
является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при
.
- Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.
Конечные p-группы небольших порядков
Число различных
-групп порядка
- Число неизоморфных групп порядка
равно 1: группа
.
- Число неизоморфных групп порядка
равно 2: группы
и
.
- Число неизоморфных групп порядка
равно 5, из них три абелевы группы:
,
,
и две неабелевы: при
—
и
; при p = 2 —
,
.
- Число неизоморфных групп порядка
равно 15 при
, число групп порядка
равно 14.
- Число неизоморфных групп порядка
равно
при
. Число групп порядка
равно 51, число групп порядка
равно 67.
- Число неизоморфных групп порядка
равно
при
. Число групп порядка
равно 267, число групп порядка
равно 504.
- Число неизоморфных групп порядка
равно
при
. Число групп порядка
равно 2328, число групп порядка
равно 9310, число групп порядка
равно 34297.
p-группы порядка
, асимптотика
При
число неизоморфных групп порядка
асимптотически равно
.
Знаменитые проблемы теории конечных p-групп
Группа автоморфизмов конечной p-группы
Для групп
-автоморфизмов конечной
-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:
- Пусть
является нециклической
-группой порядка
, тогда
.
Эта гипотеза подтверждена для обширного класса
-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более
, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.
Гипотеза Хигмена
Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка
нильпотентна.
- Пусть группа
обладает регулярным автоморфизмом простого порядка
. Тогда её класс нильпотентности равен
.
Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки:
(Кострикин, Крекнин).
Ослабленная гипотеза Бернсайда
Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с
образующими и периодом
(то есть все её элементы
удовлетворяют соотношению
), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через
. Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа
является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы
равен
. Однако, как показали Новиков и Адян, при
и при любом нечётном
группа
бесконечна.
Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных
-порождённых групп периода
ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных
групп она означает, что существует лишь конечное число
групп данной экспоненты и с данным числом образующих.
Нерегулярные p-группы
Классификация нерегулярных p-групп порядка
.
Литература
- Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
- Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
- Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
- Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
- Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
- Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
- Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
- Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
- Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
- Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
- Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.
Ссылки
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.